№39724

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны \(1 м\) и \(\sqrt{3} м\). Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ

Ответ: средняя линия трапеции равна \(1 м\).

Решение № 39708:

Дополнительное построение: из точки \(В\) проведем отрезок \(ВЕ\), параллельный \(СА\). По определению трапеции \(ВС \parallel AD\), тогда из условий \(ВС \parallel ЕА\) и \(ВЕ \parallel АС \rightarrow EBCA\) - параллелограмм по определению. Тогда, по свойству противолежащих сторон параллелограмма, \(ЕА = BC\). \(\angle DOA\) и \(\angle DBE\) - соответствующие при \(ВЕ \parallel СА\) и секушей \(DB\), тогда \(\angle DBE = \angle DOA = 90^\circ\) Тогда \(\Delta DBE\) - прямоугольный. По теореме Пифагора: \(DE^{2} = DB^{2} + EB^{2}\); \(DE = \sqrt{DB^{2} + EB^{2}}; \(DE = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 (м)\). По свойству средней линии трапеции \(MN = \fraq{BC + AD}{2}\) Ho \(ED = EA + AD\), a \(EA = BC\), тогда \(BC + AD = ED\); \(MN = \fraq{ED}{2}\), \(MN = 1 (м)\). Ответ: средняя линия трапеции равна \(1 м\).