№39723

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Две окружности касаются внешним образом. Расстояния от точки касания \(А\) этих окружностей до точек \(B\) и \(С\) касания данных окружностей с их общей внешней касательной равны соответственно \(5 см\) и \(12 см\). Найдите \(ВС\).

Ответ

Ответ: \(ВС = 13 см\).

Решение № 39707:

\(BD = DA = R_{1}\); \(AE = EC = R_{2}\) тогда, по определению равнобедренного треугольника, \(\Delta BDA\) и \(\Delta АЕС\) равнобедренные. По свойству углов равнобедренного треугольника \(\angle ABD = \angle BAD\) и \(\angle EAC = \angle ECA\). Пусть \(\angle BDA = 2\alpha\) и \(\angle AEC = 2\beta\), тогда по теореме о сумме углов треугольника: \(\angle ABD = \angle BAD = 90^\circ - \alpha\) и \(\angle EAC = \angle ECA = 90^\circ - \beta\). По определению касательной \(ВС \perp BD\) и \(DC \perp CE\), тогда \(\angle BCA = 90^\circ - \angle ACE = \beta\); \(\angle CBA = 90^\circ - \angle DBA = \alpha\). По свойству смежных углов: \(\angle DAB + \angle BAC + \angle CAE = 180^\circ\) Тогда: \(90^\circ - \alpha + \angle BAC + 90^\circ - \beta = 180^\circ\), отсюда \(\angle BAC = \alpha + \beta\). По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ\); \(\alpha. + \alpha + \beta + \beta = 180^\circ\); \(2(\alpha + \beta) = 180^\circ\); тогда \(\alpha + \beta = 90^\circ\), но \(\angle BAC = \alpha + \beta = 90^\circ\), значит, \(\Delta АВС\) - прямоугольный. По теореме Пифагора: \(BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}}\), \(BC = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} =13 (см)\). Ответ: \(ВС = 13 см\).