№39722

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Две окружности с радиусами \(4 см\) и \(9 см\) касаются внешним образом. Найдите расстояние между точками касания данных окружностей с их общей внешней касательной.

Ответ

Ответ: расстояние между точками касания равно \(12 см\).

Решение № 39706:

По определению касательной, \(АЕ \perp EB\) и \(AD \perp DC\), тогда \(\Delta AEB\) и \(\Delta ADC\) - прямоугольные. \(\angle DAC = \angle EAB\) - общий, следовательно, \(\Delta АЕВ \sim \delta ADC\) по равному острому углу. Из подобия: \(\fraq{AB}{AC} = \fraq{AE}{AD} = \fraq{EB}{DC}\), но \(AC = AB + R_{1} + R_{2}\); \(AD = AE + ED\); \(EB = R_{1}\); \(DC = R_{2}\); тогда \(\fraq{AB}{AB + R_{1} + R_{3}} = \fraq{R_{1}}{R_{2}}\). откуда: \(AB = \fraq{R_{1}(R_{2} + R_{1})}{R_{2}\). \(AB = \fraq{4 \cdot (9 + 4)}{9 - 4}= 10,4 (см)\). По теореме Пифагора \(AE = \sqrt{AB^{2} - R_{1}^{2}}\); \(AE = \sqrt{10,4^{2} - 4^{2}} = \sqrt{108,16 - 16} = 9,6 (cм)\). \(\fraq{AE}{AE + ED} = \fraq{R_{1}}{R_{2}}\); откуда \(ED = \fraq{AE(R_{1} - R_{2})}{R_{1]}\); \(ED = \fraq{9,6 \cdot (9 - 4)}{4} = 12 (см)\). Ответ: расстояние между точками касания равно \(12 см\).