№39720

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Точка окружности удалена от концов диаметра на 15 см и 20 см. Найдите расстояние от данной точки до диаметра.

Ответ

Расстояние от точки \(А\) до диаметра равно 12 см.

Решение № 39704:

\(\Delta АВС\) вписан в окружность и опирается на диаметр, тогда \(\angle CAB = 90^\circ\) и \(\Delta АВС\) - прямоугольный. По теореме Пифагора: ВС^2 = AC^2 + AB^2\); \(BC = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 (см). \(\Delta ABD \sim \Delta CAD\), тогда: \(\fraq{BD}{DC} = \fraq{AB^2}{AC^2}\). \(DC = BC - BD\), значит, \(\fraq{BD}{BC - BD} = \fraq{AB^2}{AC^2}\); отсюда \(BD(AC^2 + AB^2) = AB^2 \cdot ВС\). \(BD = \fraq{AB^2 \cdot BC}{AC^2 + AB^2}\); \(BD = \fraq{225 \cdot 25}{400 + 225} = 9\) (см). По теореме Пифагора: \(AD = \sqrt{AB^2 - BD^2}\); \(AD = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\) (см).