№39719

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Из точки к прямой проведены перпендикуляр и две наклонные, разность длин которых составляет 8 см. Найдите длину перпендикуляра, если проекции наклонных равны 8 см и 20 см.

Ответ

15 см.

Решение № 39703:

По теореме Пифагора для \(\Delta ABD\) и \(\Delta ACD\): \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AC^2 = AD^2 + DC^2\); \(AB^2 = AD^2 + BD^2\); \end{cases} \end{equation*} \) \(АС = АВ + 8\) (по условию), тогда: \((AB + 8)^2 - AB^2 = DC^2 - BD^2\); \(16AB + 64 = DC^2 - BD^2\); \(AB = \fraq{DC^2 - BD^2 - 64}{16}\); \(AB = \fraq{400 - 64 - 64}{16} = 17\) (см). \(AC = 17 + 8= 25\) (см). По теореме Пифагора: \(AD = \sqrt{AC^2 - DC^2}\); \(AD = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\) (см).