№39718

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите высоту, проведенную к наибольшей стороне треугольника со сторонами: а) 15, 41 и 52; б) 10, 17 и 21.

Ответ

a) 9 см; б) 8 см.

Решение № 39702:

Пусть \(АВС\) - произвольный треугольник и \(AD\) - его высота. По теореме Пифагора для \(\Delta ADB\) и \(\Delta ADC\): \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AB^2 = AD^2 + BD^2\); \(AC^2 = AD^2 + DC^2\); \end{cases} \end{equation*} \) Вычитаем из первого уравнения второе: \(AB^2 - AC^2 = BD^2 - DC^2\). По аксиоме об измерении отрезков \(CD = BC - BD\), тогда: \(AB^2 - AC^2 = BD^2 - (BC - BD)^2 = BD^2 - BC^2 + 2BC \cdot BD - BD^2 = 2BC \cdot BD - BC^2\). Отсюда найдем \(BD\): \(BD = \fraq{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot BC}\). Зная \(BD\), найдем \(AD): \(AD = \sqrt{AB^2 - BD^2}\). a) \(АВ = 15\) см; \(AC = 41\) см; \(ВС = 52\) см. Тогда \(BD = \fraq{15^2 + 52^2 - 41^2}{2 \cdot 52} = 12\) (см); \(AD = \sqrt{15^2 -12^2} = \sqrt{81} = 9\) (см). Ответ: высота равна 9 см. б) \(АВ = 10\) см; \(АС = 17\) см; \(ВС = 21\) см. \(BD = \fraq{10^2 + 21^2 - 17^2}{2 \cdot 21} = 6\) (см); \(AD = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\) (см). Ответ: высота равна 8 см.