№39713
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Стороны треугольника равны 15 см, 20 см и 25 см. Найдите медиану и высоту, проведенные к наибольшей стороне.
Ответ
12 см; 12,5 см.
Решение № 39697:
\(AC^2 + CB^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 = AB^2\), следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, \(\Delta АВС\) - прямоугольный. Тогда для высоты \(CD\) справедливы метрические соотношения: \(CD = \sqrt{AD \cdot DB}\), но \(DB = AB - AD\), тогда \(CD^2 = AD \cdot (AB - AD)\). По теореме Пифагора для \(\Delta ADC\) и \(\Delta CDB\): \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AC^2 = AD^2 + CD^2\), \(CB^2 = BD^2 + DC^2\); \end{cases} \end{equation*} \) Подставляем выражения для \(CD^2\), получим: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AC^2 = AD^2 + AD \cdot AB - AD^2\) \(CB^2 = (AB - AD)^2 + AD \cdot (AB - AD) = AB^2 - 2AB \cdot AD + AD^2 +AD \cdot AB - AD^2 = AB^2 - AB \cdot AD\). \end{cases} \end{equation*} \) Из первого выражения находим \(AD\): \(AD = \fraq{AC^2}{AB}\); \(AD = \fraq{15^2}{25} = 9\) (см). Тогда \(DB = 25 - 9 = 16\) (см). Высота \(CD = \sqrt{AD \cdot DB}\); \(CD = \sqrt{9 \cdot 16} = 12\) (см). По определену медианы \(AM = MB = \fraq{AB}{2}\); \(AM = \fraq{25}{2} = 12,5\) (см), \(DM = AM - AD\); \(DM = 12,5 - 9 = 3,5\) (см). По теореме Пифагора для \(\Delta DMC\): \(CM = \sqrt{CD^2 + MD^2}\); \(CM = \sqrt{144 + 12,25} = 12,5\) (см).