№39709

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В прямоугольном треугольнике найдите неизвестные стороны, если: а) катет и гипотенуза относятся как \(12 : 13\), а второй катет равен \(10 см\); б) проекции катетов на гипотенузу равны \(18 см\) и \(32 см\).

Ответ

Ответ: катеты треугольника равны \(30\) и \(40 см\), его гипотенуза равна \(50 см\).

Решение № 39693:

Пусть \(а = 12х\), тогда \(с = 13х\), по теореме Пифагора \(с^{2} = а^{2} + b^{2}\); \((13x)^{2} = (12x)^{2} + 10^{2}\); \(169x^{2} = 144x^{2} + 100\); \(25x^{2} = 100\); \(x^{2} = 4\); \(x = 2 (cм)\). Тогда \(а = 2 \cdot 12 = 24(см)\); \(с = 2 \cdot 13 = 26 (см)\) Ответ: \(a = 24 см\); \(c = 26 см\). б) \(c = a_{c} + b_{c}\); \(c = 18 + 32 = 50 (cм)\) Из метрических соотношений найдем высоту \(h_{c}\), проведенную к гипотенузе: \(h_{c} = \sqrt{a_{c} \cdot b_{c}}\); \(h_{c} = \sqrt{18 \cdot 32} = 24 (см)\). По теореме Пифагора: \(a = \sqrt{a^{2}_{c} + h^{2}_{c}}\) и \(b = \sqrt{b^{2}_{c} + h^{2}_{c}}\) \(a = \sqrt{18^{2} + 24^{2}} = \sqrt{900} = 30 (см)\); \(b = \sqrt{32^{2} + 24^{2}} = \sqrt{1600} = 40 (см)\) Ответ: катеты треугольника равны \(30\) и \(40 см\), его гипотенуза равна \(50 см\).