№39708

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В прямоугольном треугольнике найдите неизвестные стороны, если: а) катеты относятся как \(3 : 4\), а гипотенуза равна \(45 см\); б) высота, проведенная к гипотенузе, равна \(12 см\), а проекция одного из катетов на гипотенузу имеет длину \(16 см\).

Ответ

Ответ: катеты треугольника равны \(15\) и \(20 см\), а его гипотенуза равна \(25 см\).

Решение № 39692:

а) По теореме Пифагора: \(с^{2} = а^{2} + b^{2}\). Пусть \(а = 3х\), тогда \(b = 4x\), значит, \(с^{2} = 9х^{2} + 16x^{2} = 25x^{2}\), тогда \(25х^{2} = (45)^{2}\). \(x^{2}= 2025 : 25\); \(x^{2} = 81\); \(x = 9 (см)\). Тогда катеты: \(а = 3 \cdot 9 = 27 (см)\); \(b = 4 \cdot 9 = 36 (cм)\). Ответ: катеты равны \(27\) и \(36 см\). б) Из метрических соотношений: \(CD= \sqrt{AD \cdot DB}\), тогда \(AD = \fraq{12^{2}}{16} = 9 (см)\). По теореме Пифагора для треугольников \(\Delta ADC\) и \(\Delta CDB\): \(AC = \sqrt{AD^{2} + DC^{2}}\) и \(BC = \sqrt{CD^{2} + DB^{2}}\); \(AC=\sqrt{9^{2} + 12^{2}} = \sqrt{81 + 144} =\sqrt{225} = 15 (см)\); \(BC =\sqrt{12^{2} + 16^{2}} = \sqrt{144 + 256} =\sqrt{400} = 20 (см)\). \(AB = AD + DB = 9 + 16 = 25 (см)\). Ответ: катеты треугольника равны \(15\) и \(20 см\), а его гипотенуза равна \(25 см\).