№39687

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, прямоугольные треугольники, теорема Пифагора,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника вдвое больше квадрата катета. Чему равны острые углы треугольника?

Ответ

\(45^\circ\).

Решение № 39671:

\(c^2 = 2a^2 - по условию. По теореме Пифагора \(c^2 = a^2 + b^2\), тогда получаем систему уравнений: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(c^2 = 2a^2\); \(c^2 = a^2 + b^2\). \end{cases} \end{equation*} \) Вычитаем из пёрвого уравнения второе: \(0 = a^2 - b^2\), следовательно, \(a^2 = b^2\), тогда \(а = b\). По определению равнобедренного треугольника данный треугольник равнобедренный. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(45^\circ\).