№39686

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Острый угол прямоугольного треугольника равен \(36^\circ\). Найдите углы, под которыми катеты видны из центра описанной окружности.

Ответ

Катеты видны под углами \(72^\circ\) и \(108^\circ\).

Решение № 39670:

Так как \(\Delta АСВ\) - прямоугольный, то его гипотенуза \(AB\) - диаметр описанной окружности. Тогда \(OA = ОВ = ОС = R\) - радиус этой окружности. Тогда треугольники \(\Delta АОС\) и \(\Delta ВОС\) - равнобедренные по определению равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника \(\angle OAC = \angle OCA = 36^\circ\). Тогда по теореме о сумме углов треугольника \(\angle COA = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ\); \(\angle CBA = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ\). Аналогично \(\angle CBO = \angle OCB = 54^\circ\), следовательно, \(\angle BOC = 180^\circ - 54^\circ - 54^\circ = 72^\circ\).