№39684

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Сформулируйте и докажите признак подобия прямоугольных тре­угольников по гипотенузе и катету.

Ответ

\(\Delta АВС \sim \Delta А'В'С'\) по трем сторонам.

Решение № 39668:

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то эти два треугольника подобны. Пусть \(\fraq{BC}{B'C'} = \fraq{AC}{A'C'} = \fraq{1}{\kappa}\). Рассмотрим \(\Delta АВС\): \(\Delta АВD \sim \Delta CBA \sim \Delta CAD\). Из подобия: \(\fraq{BD}{BA} = \fraq{BA}{BC}\) и \(\fraq{CD}{CA} = \fraq{CA}{BC}\), тогда: \(BD = \fraq{BA^2}{BC}\) и \(CD = \fraq{CA^2}{BC}\). \(BC = BD + CD\), тогда \(ВС = \fraq{BA^2}{BC} + \fraq{CA^2}{BC}\), откуда \(ВС^2 = ВА^2 + CA^2\), тогда второй катет равен: \(BA = \sqrt{ВC^2 - AC^2}\). Аналогично для второго треугольника: \(B'A' = \sqrt{B'C'^2 - A'C'^2}\). Найдем отношение: \(\fraq{BA}{B'A'} = \fraq{\sqrt{BC^2 - AC^2}}{\sqrt{B'C'^2 - A'C'^2}} = \fraq{\sqrt{BC^2 - AC^2}}{\sqrt{K^2BC^2 - K^2AC^2}} = \fraq{\sqrt{BC^2 - AC^2}}{K\sqrt{BC^2 - AC^2}} = \fraq{1}{\kappa}\). Следовательно, \(\Delta АВС \sim \Delta А'В'С'\) по трем сторонам.