№39683
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Отрезки \(АМ\) и \(АN\) - высоты параллелограмма \(АВСD\), проведенные к сторонам \(ВС\) и \(СD\) соответственно. Докажите, что \(\Delta MAN \sim \Delta АВС\).
Ответ
NaN
Решение № 39667:
По свойству противолежащих углов параллелограмма \(\angle ADC = \angle ABC\). Тогда прямоугольные треугольники \(\Delta ADN\) и \(\Delta АВМ\) подобны по равному острому углу: \(\Delta ADN \sim \Delta АВМ\). Из подобия: \(\fraq{AD}{AB} = \fraq{AN}{AM}\). Перепишем эту пропорцию в виде: \(\fraq{AD}{AN} = \fraq{AB}{AM}\). По свойству противолежащих сторон параллелограмма \(AD = BC\), тогда \(\fraq{BC}{AN} = \fraq{AB}{AM}\), следовательно, стороны \(AN\) и \(AM\) в \(\Delta ANM\) пропорциональны соответственно сторонам \(ВС\) и \(ВА\) в \(\Delta ВСА\). \(\angle NAM = \angle DAB - \angle DAN - \angle MAB\). \(\angle DAB = 180^\circ - \angle ADN\) - внутренние односторонние при \(AB \parallel DC\) и секущей \(AD\). \( \begin{equation} \left.\begin{gathered} \(\angle DAN = 90^\circ - \angle ADN\) \(\angle BAM = 90^\circ - \angle ABM\) \end{gathered}\right\} \end{equation} \) по теореме о сумме углов треугольника. Тогда \(\angle NAM = 180^\circ - \angle ADN - 90^\circ + \angle ADN - 90^\circ + \angle ABM = \angle ABM\). Следовательно, \(\Delta MAN \sim \Delta АВС\) по двум сторонам и углу между ними.