№39679

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Перпендикуляр, проведенный из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит ее на отрезки длиной \(2,25 см\) и \(4 см\). Найдите высоту треугольника, проведенную к боковой стороне.

Ответ

Ответ: высота, проведенная к боковой стороне, равна \(6 см\).

Решение № 39663:

По свойству медианы равнобедренного треугольника \(ВМ \perp AC\), следовательно, \(\Delta ВМС\) - прямоугольныйю Для треугольников \(\Delta ACD\). \(\Delta MCN\). \(\Delta ВСМ\) угол \(С\) - общий, следовательно, эти прямоугольные треугольники подобны по острому углу. \(\Delta BMN\) и \(\Delta BCM\) имеют общий угол \(В\), следовательно, они также подобны по острому углу, тогда \(\Delta AСD \sim \Delta MCN \sim \Delta BCM \sim \Delta BMN\). Из подобия: \(\fraq{MC}{CN} = \fraq{AC}{CD}\), следовательно, \(DC = CN \cdot \fraq{MC}{CN} = \fraq{AC}{MC}\);\(DC = 2,25 \cdot 2 = 4,5 (cм)\). По аксиоме об измерении отрезков: \(ВС = BN + NC\); \(BC = 4 + 2,25 = 6,25 (cм)\). Из подобия: \(MC : NC = BC : МС\). Отсюда \(MC = \sqrt{NC \cdot BC}\). \(MC = \sqrt{2,25 \cdot 6,25} = 3,75 (см)\). Тогда \(AC = MC \cdot 2\); \(AC = 7,5 (см)\). Из подобия: \(BN : BM = BM : BC\), отсюда \(BM =\sqrt{BN \cdot BC}; \(BM = \sqrt{4 \cdot 6,25} = 5(см)\). Из подобия: \(BM : BC = AD : AC\), тогда \(AD = \fraq{BM \cdot AC}{BC}\); \(AD = \fraq{5 \cdot 7,5}{6,25} = 6 (см)\). Ответ: высота, проведенная к боковой стороне, равна \(6 см\).