№39677

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Высота прямоугольного треугольника равна \(24 см\) и делит гипотенузу в отношении \(9 : 16\). Найдите катеты треугольника.

Ответ

Ответ: катеты равны \(30\) и \(40 см\).

Решение № 39661:

\(\Delta АВС \sim ACD \sim \delta CBD\) (см. решение задачи N 398). Из подобия: \(b_{c} : h_{c} = h_{c} : а_{c}\), тогда \(h_{c} = \sqrt{a_{c} \cdot b_{c}}. Пусть \(а_{c} = 16х\), тогда \(b_{c} = 9x\), подставляем в выражение для \(h_{c}\): \(h_{c} = \sqrt{9x-16x} = 12x\), отсюда \(24 = 12х\); \(х = 2\); тогда: \(а_{c} = 2 \cdot 16 = 32 (см)\) и \(b_{c} =2 \cdot 9 = 18 (см)\). Из подобия: \(а : a_{c} = с : а\), тогда \(а = \sqrt{a_{1} c}\) По аксиоме об измерении отрезков \(с = а_{1} + b_{c}\); \(с = 18 + 32 = 50 (см)\), тогда \(a = \sqrt{32 \cdot 50} = 40 (см)\). Из подобия: \(b : b_{c} = с : b\); откуда \(b = \sqrt{b_{c} \cdot с}\), тогда \(b = \sqrt{18 \cdot 50} = 30 (см)\). Ответ: катеты равны \(30\) и \(40 см\).