№39673

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Две окружности с радиусами \(4 см\) и \(6 см\) касаются внешним образом. Их общая касательная, которая не проходит через точку касания окружностей, пересекает линию центров в точке \(А\) . Найдите расстояния от точки \(А\) до центров окружностей.

Ответ

Ответ: расстояние от точки \(А\) до центров окружностей равны \(20\) и \(30 см\).

Решение № 39657:

По условию \(AE\) - касательная к окружностям. Тогда \(BD \perp AD\) и \(CE \perp AE\) (по определению касательной). Тогда \(\angle ADB = 90^\circ\) и \(\angle AEC = 90^\circ\) Рассмотрим прямоугольные треугольники \(|delta ADB\) и \(\Delta AEC\). \(\angle DAB = \angle EAC\) - общий угол, тогда \(\Delta АDВ \sim AEC\) по равному острому углу. Из подобия: \(\fraq{AB}{DB} = \fraq{AC}{EC}\) При этом \(DB = R_{1}\); \(EC = R_{2}\); \(AC = AB + BC = AB + R_{1} + R_{2}\), тогда: \(\fraq{AB}{R_{1}} = \fraq{AB + R_{1} + R_{2}}{R_{2}} \rightarrow AB \cdot (R_{2} - R_{1}) = R_{1}\) \((R_{1} + R_{2}) \rightarrow AB = \fraq{R_{1} (R_{1} + R_{2}){R_{2} - R_{1}}\); \(AB = \fraq{4 \cdot (4 + 6)}{6-4} = 20 (см)\). \(AC = AB + R_{1} + R_{2} = 20 + 10 = 30 (cм)\). Ответ: расстояние от точки \(А\) до центров окружностей равны \(20\) и \(30 см\).