№39672

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В прямоугольный треугольник вписан квадрат (см. рис. ниже). а) Найдите на рисунке подобные треугольники и докажите их подобие. б) Найдите сторону квадрата, если \(ВК = 9 см\), \(МС = 4 см\).

Ответ

Ответ: сторона квадрата равна \(6 см\).

Решение № 39656:

a) По определению квадрата: \(\angle KAM = \angle AML = \angle MLK = \angle LKA = 90^\circ\). \(\delta ABC\) и \(\Delta KBL\) имеют общий угол: \(\angle ABC = \angle KBL\), следовательно, по равному острому углу треугольники подобны: \(\Delta АВС \sim \Delta KBL\) Для треугольников \(\delta АВС\) и \(\Delta MLK\) общий угол: \(\angle MCL = \angle ACB\), следовательно, эти треугольники тоже подобны по равному острому углу. Получили: \(\Delta АВС \sim \Delta KBL \sim \Delta MLC\). б) Из подобия треугольников: \(\Delta BKL \sim \Delta LMC : \fraq{BK}{KL} = \fraq{LM}{MC}\), но \(KL = LM\) (по определению квадрата), тогда \(KL =\sqrt{BK \cdot MC} = \sqrt{9 \cdot 4} = 6 (см)\). Ответ: сторона квадрата равна \(6 см\).