№39670

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите периметр прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки длиной 4,5 см и 8 см.

Ответ

30 см.

Решение № 39654:

Прямоугольные треугольники подобны: \(\Delta АВС \sim \Delta ACD \sim \Delta CBD\) (доказательство приведено в задаче № 398). Из подобия треугольников: \(\fraq{AC}{AD} = \fraq{AB}{AC}\), откуда \(AС = \sqrt{AD \cdot AB}\) и \(\fraq{BC}{BD} = \fraq{AB}{BC}\), откуда \(BС = \sqrt{BD \cdot AB}\). По аксиоме об измерении отрезков: \(AB = AD + DB\), \(AB = 4,5 + 8 = 12,5\) (см). Тогда \(AC = \sqrt{4,5 \cdot 12,5} = 7,5\) (см) и \(BC = \sqrt{8 \cdot 12,5} = 10\) (см). Периметр треугольника \(Р = AB + ВС + AC\); \(P = 12,5 + 10 + 7,5 = 30\) (см).