№39669

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В прямоугольном треугольнике \(АВС\) (\(\angle С = 90^\circ\)) проведена высота \(CD\) (см. рис. 114). Найдите: а) \(CD\), если \(AD = 4\) см, \(DB = 25\) см; б) \(АС\) и \(ВС\), если \(АВ = 50\) см, \(АD = 18\) см.

Ответ

а) \(CD = 10\) (см); б) \(AC = 30\) (см), \(BC = 40\) (см).

Решение № 39653:

а) Рассмотрим \(\Delta АВС\) и \(\Delta CBD\). \(\angle ABC = \angle CBD\) - общий угол. Тогда эти прямоугольные треугольники подобны по равному острому углу: \(\Delta АВС \sim \Delta CBD\). Рассмотрим \(\Delta АВС\) и \(\Delta ACD\). \(\angle CAD = \angle BAC\) - общий угол. Тота эти прямоугольные треугольники подобны по равному острому углу: \(\Delta АВС \sim \Delta ACD\). Тогда: \(\Delta АВС \sim \Delta ACD \sim \Delta CBD\). Из подобия: \(AD : CD = CD : DB\). Отсюда: \(CD = \sqrt{AD \cdot DB\). \(CD = \sqrt{4 \cdot 25} = \sqrt{100} = 10\) (см). б) По аксиоме об измерении отрезков: \(DB = AB - AD\); \(DB = 50 - 18 = 32\) см. В пункте (а) было доказано подобие треугольников \(\Delta АВС \sim \Delta АСD \sim \Delta CBD\), из которого получаем: \(AC : AD = AB : AC\). Откуда \(AC = \sqrt{AD \cdot AB\); \(AC = \sqrt{18 \cdot 50} = 30\) (см), \(BC : DB = AB : CB\). Откуда \(BC = \sqrt{AB \cdot DB}; \(BC = \sqrt{50 \cdot 32} = 40\) (см).