№39661

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Для построения четвертого пропорционального отрезка \(х = \fraq{ab}{c}\) ученик предложил построить прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) и провести в нем высоту \(h_{c}\), равную \(х\). Другой ученик утверждает, что этот способ ошибочный. Кто из учеников прав?

Ответ

Первый ученик прав.

Решение № 39645:

\(\Delta АВС \sim \Delta CBD \sim \Delta ACD\), тогда из подобия: 1) \(\fraq{a}{a_{c}} = \fraq{c}{a}\), следовательно, \(a_{c} = \fraq{a^2}{c}\). 2) \(\fraq{a_{c}}{h_{c}} = \fraq{a}{b}\), следовательно, \(h_{c} = \fraq{a_{c} \cdot b}{a}\), подставляем выражение для \(a_{c}\), и получаем: \(h_{c} = \fraq{a^2 \cdot b}{a \cdot c} = \fraq{ab}{c}\). Тогда \(x = h_{c}\) и первый ученик прав.