№39660

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Могут ли быть подобными неравные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой; с общим катетом?

Ответ

NaN

Решение № 39644:

1) Допустим, прямоугольные треугольники с общей гипотенузой могут быть подобны и не равны между собой. Если треугольники подобны, то они имеют одинаковые острые углы: \(\alpha = \beta\), \(AC\) - общая гипотенуза (см. рис.). Проведем два луча, выходящих из точки \(А\) под углами \(\alpha\) и \(\beta\) к гипотенузе \(AC\), а потом найдем проекцио \(АС\) на эти лучи. Так как равные наклонные имеют равные проекции, то \(AE = AD\), тогда \(\Delta ЕАС = \Delta DAC\) по двум сторонам и углу между ними, получили противоречие, следовательно, неравные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой не могут быть подобны. 2) Неравные прямоугольные треугольники с общим катетом могут быть подобны. Например, возможна такая ситуация: \(BD\) - общий катет, \(\angle ABD = \angle CBD = 90^\circ\) и пусть \(\angle ADB = \angle DCB\). Тогда \(\Delta ADB \sim \Delta DCB\) по равному острому углу, но эти треугольники не равны.