№39658

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, применения подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Может ли высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, быть меньше каждой из проекций катетов на гипотенузу; быть равной проекции катета на гипотенузу?

Ответ

NaN

Решение № 39642:

\(CD\) - высота \(\Delta АВС\), проведенная из вершины \(С\), по определению высоты \(CD \perp AB\), тогда \(DB\) и \(AD\) - проекции катетов \(ВС\) и \(АС\) соответственно на гипотенузу \(AB\). Прямоугольные треугольники \(\Delta ABC\), \(\Delta ACD\), \(\Delta CBD\) подобны, тогда \(AD : CD = CD : DB\). Следовательно, \(CD^2 = AD \cdot DB\). Если \(CD < AD\) и \(CD < DB\), то \(CD^2 < AD \cdot DB\), что противоречит равенству \(CD^2 = AD \cdot DB\). Следовательно, такая ситуация невозможна. Если \(CD = AD\) и \(CD = DB\), то условие \(CD^2 = AD \cdot DB\) выполнится, и такая ситуация возможна.