№39650

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, признаки подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В трапеции через точку, которая делит боковую сторону в отношении \(m : n\) , начиная от меньшего основания, проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции, если ее основания равны \(a\) и \(b\) \(a < b\).

Ответ

\(\fraq{an + bm}{m + n}\).

Решение № 39634:

Рассмотрим \(\Delta ЕВK\) и \(\Delta ABD\): \(\angle EBK = \angle ABD\) (т. к. \(\angle B\) - общий); \(\angle BEK = \angle BAD\) как соответственные при \(EF \parallel AD\) и секущей \(АВ \Rightarrow \Delta ЕВK \sim \Delta ABD\) по двум углам. Из подобия треугольников следует \(\fraq{BE}{EA} = \fraq{m}{n} \Rightarrow \fraq{BE}{AB} = \fraq{m}{m + n}\). \(\fraq{m}{m + n} = \fraq{EK}{b} \Rightarrow EK = \fraq{mb}{m + n}\). Параллельные прямые \(EF\) и \(AD\) отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (из теоремы о пропорциональных отрезках) \(\Rightarrow \fraq{BE}{AE} = \fraq{CF}{FD} = \fraq{m}{n} \Rightarrow \fraq{CF}{CD} = \fraq{n}{m + n}\). \(\Delta DKF \sim \Delta BDC\) (доказывается аналогично подобию \(\Delta ABD \sim \Delta EBK\)). Из подобия следует: \(\fraq{FD}{DC} = \fraq{KF}{BC}\); \(\fraq{n}{m + n} = \fraq{KF}{a} \Rightarrow KF = \fraq{an}{m + n}\). \(EF = KF + KE = \fraq{an}{m + n} + \fraq{bm}{m + n} = \fraq{an + bm}{m + n}\).