№39649

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, признаки подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Отрезок, концы которого лежат на боковых сторонах трапеции, параллелен ее основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны \(a\) и \(b\).

Ответ

\(\fraq{2ab}{a + b}\).

Решение № 39633:

Рассмотрим \(\Delta ВОС\) и \(\Delta DОА\): \(\angle BOC = \angle AOD\) как вертикальные; \(\angle BCO = \angle DAO\) как внутренние накрест лежащие при \(BC \parallel AD\) и секущей \(AС \Rightarrow \Delta ВОС \sim \Delta DOA\) по двум углам. Из подобия следует: \(\fraq{BC}{AD} = \fraq{OC}{AO} = \fraq{BO}{OD} = \fraq{a}{2} \Rightarrow BO = \fraq{a \cdot OD}{b}\); \(CO = \fraq{AO \cdot a}{b}\), тогда \(BD = BO + OD = \fraq{(a + b) \cdot OD}{b}\), \(AC = AO + OC = \fraq{(a + b) \cdot AO}{b}\). Рассмотрим \(\Delta DOF\) и \(\Delta DBC\): \(\angle D\) - общий; \(\angle DOF = \angle DBC\) - как соответственные при \(BC \parallel EF\) и секущей \(BD \Rightarrow \Delta DOF \sim \Delta DBC\) по двум углам. Из подобия треугельников следует: \(\fraq{DO}{BD} = \fraq{OF}{BC} \Rightarrow OF = \fraq{DO \cdot BC}{BD} = \fraq{DO \cdot a \cdot b}{(a + b) \cdot DO} = \fraq{ab}{a + b}\). Аналогично доказывается, что \(\Delta АОЕ \sim \Delta АСВ \Rightarrow \fraq{AO}{AC} = \fraq{OE}{BC} \Rightarrow OE = \fraq{AO \cdot BC}{AC} = \fraq{AO \cdot a \cdot b}{(a + b) \cdot AO} = \fraq{ab}{a + b}\), \(FE = 2OE = \fraq{2ab}{a + b}\).