№39646

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, признаки подобия треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что отношение соответствующих биссектрис подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Ответ

NaN

Решение № 39630:

Из подобия треугольников следует \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \kappa\) и \(\angle A = \angle A_{1}\), \(\angle B = \angle B_{1}\), \(\angle C = \angle C_{1}\). T. к. \(AK\) и \(A_{1}K_{1}\) - биссектрисы, то \(\angle KAC = \angle KAB\) и \(\angle K_{1}A_{1}C_{1} = \angle K_{1}A_{1}B_{1}\). T. к. \(\angle A = \angle A_{1}\), то \(\angle KAC = \angle K_{1}A_{1}C_{1}\). Рассмотрим \(\Delta AKC\) и \(\Delta A_{1}K_{1}C_{1}\): \(\angle C = \angle C_{1}\), \(\angle KAC = \angle K_{1}A_{1}C_{1} \Rightarrow \Delta AKC \sim \Delta A_{1}K_{1}C_{1}\) по углам. Из подобия следует: \(\fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{AK}{A_{1}K_{1}} = \fraq{KC}{K_{1}C_{1}}\). Т. к. \(\fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \kappa \Rightarrow \fraq{AK}{A_{1}K_{1}} = \kappa\).