№39645
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, признаки подобия треугольников,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Докажите, что отношение соответствующих медиан подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Ответ
NaN
Решение № 39629:
Из подобия треугольников следует: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \kappa\) и \(\angle A = \angle A_{1}\), \(\angle B = \angle B_{1}\), \(\angle C = \angle C_{1}\). \(AK = \fraq{1}{2}AC\); \(A_{1}K_{1} = \fraq{1}{2}A_{1}C_{1}\) (т. к. \(BK\), \(B_{1}К_{1} - медианы). Рассмотрим \(\Delta ABK\) и \(\Delta A_{1}B_{1}K_{1}\): \(\angle BAK = \angle B_{1}A_{1}K_{1}\), \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \kappa\); \(\fraq{AK}{A_{1}K_{1}} = \fraq{1}{2}AC : \fraq{1}{2}A_{1}C_{1} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \kappa\). T. e. \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{AK}{A_{1}K_{1}} = \kappa \Rightarrow \Delta ABK \sim \Delta A_{1}B_{1}K_{1}\) с коэффициентом \(\kappa\). Из подобия следует, что \(\fraq{BK}{B_{1}K_{1} = \kappa\).