№39619

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, определения подобных треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Через вершину треугольника проведена прямая, которая делит данный треугольник на два равных треугольника. Определите вид данного треугольника. Может ли такая прямая разделить треугольник на два неравных, но подобных треугольника? Выскажите предположение

Ответ

NaN

Решение № 39603:

Поскольку \(\Delta ABD = \Delta CBD\), то \(AD = DC\) и \(\angle ADB = \angle BDC = 180^\circ : 2 = 90^\circ \rightarrow BD\) - медиана, и высота, и биссектриса \(\rightarrow \Delta ABC\) должен быть равнобедренным. б) Можно предположить, что медиана, или высота, или биссектриса разделит треугольник на два подобных треугольника. 1) Проведем высоту \(ВН \rightarrow \angle AHB = \angle BHC=90^\circ\), но равенство углов \(\angle ВАН\) и \angle HВС\) или \(\angle АВН\) и \(\angle ВHС\) не выполнено. Пример этому - \(\Delta АВС\) с углами \(\angle A = 63^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\), \(\angle C= 57^\circ\); в нем \(\angle BAH = 63^\cric\), a \(\angle ABH = 27^\circ\) и \(\angle HBC = 30^\circ \rightarrow \Delta АВН и \Delta BCH\) - не подобны. 2) Проведем биссектрису \(BD\) угла \(АВС\). Тогда в треугольниках \(\Delta ABD\) и \(\Delta DBC : \angle ABD = \angle DBC\). Но равенство углов \(\angle BAD\) и \(\angle BDC\) невозможно, а равенство углов \(\angle BAD\) и \(\angle BCD\) будет означать, что треугольники равные \(rightarrow \Delta ABD\) и \(\Delta DBC\) - не подобны. 3) Проведем медиану \(ВМ \rightarrow\) в \(\Delta АВМ\) и \(\delta MBC\) нет пар равных углов \(\rightarrow \Delta АВМ\) и \(\Delta МВС\) - не подобны. Предположение: прямая, проходящая черев вершину треугольника, не может разделить этот треугольник на два подобных треугольника.