№39585

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Отрезки \(АВ\) и \(АС\) — отрезки касательных к окружности, проведенных из точки \(А\) . Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник \(АВС\), лежит на данной окружности.

Ответ

NaN

Решение № 39569:

\(\Delta ОВА = \Delta ОСА\) - по гипотенузе и катету (\(АО\) - общая, \(ОВ = ОС\) как радиусы) \(\rightarrow \angle COA = \angle BOA\) и \(\angle BAO = \angle CAO\), \(AB = AC \rightarrow AO\) - биссектриса \(\angle А\). Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис углов треугольника \(\rightarrow O_{1} \in AO\) и \(\angle CBO_{1} = \angle O_{1}BA\) и \(\angle BCO_{1} = \angle O_{1}CA\). Т. к. \(\Delta CAB\) - равнобедренный \((ВА = АС\),то \(\angle ABC = \angle BCA \rightarrow \angle CBO_{1} = \angle O_{1}BA = \angle BCO_{1} = \angle O_{1}CA\). Проведем \(АO \rightarrow\) т. \(К\) принадлежит окружности. Пусть \(\angle BRE = \alpha\), тогда по свойству вписанного угла \(\angle ВОС = 2\alpha\). T. к. \(\angle BOA = \angle COA\), то \(\angle BOA = \angle COA = \alpha\). \(\Delta OBC\) - равнобедренный (\(ВО = ОС\) как радиусы) \(/rightarrow \angle OBC = \angle OCA\). Из теоремы о сумме углов треугольника \(\angle ОВС = \angle OCA = (180^\circ - 2\alpha) : 2 = 90^circ - \alpha\). \(\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ \rightarrow \angle CBA = \angle BCA = 90^\circ - \angle OBC = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha\). Т. к. \(ВО_{1}\) и \(CО_{1}\) - биссектрисы углов \(B\) и \(C\), то \(\angle CBO_{1} = \angle BCO_{1} = \fraq{\alpha}{2}\) Рассмотрим \(\Delta BO_{1}C\): по тeopeме о сумме услов треугольника \(\angle BO_{1}C = 180^\circ - \fraq{\alpha}{2} - \fraq{\alpha}{2} = 180^\circ - \alpha\). В четырехугольнике \(KBO_{1}C: \angle BKC + \angle BO_{1}C = \alpha + 180^\circ - \alpha = 180^\circ = \angle KBC = \angle KCO_{1} = 180^\circ \rightarrow\) четырехугольник \(КВО_{1}С\) можно вписать в окружность, но точки \(К\), \(В\), \(С\) лежат на окружности с центом в т. \(О\) и радиусом \(ОВ \rightarrow\) т. \(О_{1} \in\) окружности с центром в т. \(О_{1}\) и радиусом \(ОВ\).