№39583

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на ее средней линии.

Ответ

NaN

Решение № 39567:

Поскольку биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом, то \(\angle CKD = 90^\circ \rightarrow \Delta CKD\) - прямоугольный. \(KL\) - медиана \(\Delta CKD\), проведенцая к гипотенузе \(\rightarrow KL=\fraq{1}{2} CD = CL = LD \rightarrow \Delta CLK\) - равнобедренный \((KL = CL) \rightarrow \angle LCK = \angle LKC\) (по свойству равнобедренного треугольника). Но \(\angle BCK = \angle KCL\) (т. к. \(CK\) - биссектриса \(\angle BCD\)) \(\rightarrow \angle BCK = \angle LKC\) и т. к. эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых \(BC \parallel KL\) и секущей \(СК\), то \(BC \parallel KL\) - по признаку параллельности прямых. Параллельные прямые \(BC\), \(KL\) и \(AD\) проходящие через точки \(С\), \(L\) и \(D\), отсекают на стороне \(АВ\) равные отрезки, т. е. \(AM = МВ\). По определению средней линии \(ML\) - средняя линия и т. \(К \in ML\).