№39580
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Прямая проходит через вершину \(В\) параллелограмма \(ABCD\).Вершины \(А\) и \(С\) удалены от этой прямой на расстояния \(a\) и \(c\) соответственно. Найдите расстояние от точки \(D\) до данной прямой. Рассмотрите два случая.
Ответ
Случай 1: \(a + c\). Случай 2: \(а - с\).
Решение № 39564:
Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой. Проведем \(AH_{1} \perp d\), \(CH_{2} \perp d\), \(DH_{3} \perp d \Rightarrow AH_{1} \parallel CH_{2} \parallel DH_{3}\) и \(AН_{1} = a\), \(CH_{2} = c\). Проведем через т. \(D\) прямую \(l \parallel d \Rightarrow\) точки \(K\) и \(F\). Случай 1. \(KН_{1}H_{2}F\) - прямоугольник. \(DH_{3} = KH_{1} = FH_{2}\). \(\Delta AKD = \Delta CH_{2}B \Rightarrow AK = CH_{2} = c \Rightarrow H_{1}K = H_{1}A + AK = a + c \Rightarrow DH_{3} = a + c\) Ответ: \(a + c\). Случай 2. \(AH_{1} \perp d\), \(CH_{2} \perp d\), \(DH_{3} \perp d \Rightarrow KH_{1} \parallel DH_{3}\) и \(l \parallel d \Rightarrow KH_{1}H_{3}D\) - прямоугольник \(\Rightarrow DH_{3} = KH_{1}\). \(\Delta KFA = \Delta H_{2}EC \Rightarrow H_{1}C = AK = c\); \(AH_{1} = a \Rightarrow KH_{1} = AH_{1} - AK = a - c\), т. e. \(DH_{3} = a - c\). Ответ: \(а - с\).