№39579
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то ее высота равна полусумме оснований. Докажите.
Ответ
NaN
Решение № 39563:
Поскольку трапеция равнобокая, то \(BD = AC\). Проведем \(CD_{1} \parallel BD\) (\(D_{1}\) - пересечение \(AD\) и \(CD_{1}\)). Т. к. \(BD \perp AC\), то \(AC \perp CD_{1}\). Четырехугольник \(BCD_{1}D\) - параллелограмм по определению \(\Rightarrow DD_{1} = BC\) и \(BD = CD_{1}\). Т. к. \(BD = AC\), то \(CD_{1} = AC\). Рассмотрим \(\Delta ACD_{1}\) - прямоугольный и \(AC = CD_{1} \Rightarrow \angle CAD = \angle CD_{1}A = 45^\circ\) (из теоремы о сумме углов треугольника). \(AD_{1} = AD + DD_{1} = AD + BC\). \(СН\) - высота \(\Delta АСD\), а т. к. \(\Delta ACD\) - равнобедренный, то \(CH\) - медиана \(\Rightarrow АН = HD_{1} = (AD + BC) : 2\). Рассмотрим \(\Delta ACH\): \(\angle CHA = 90^\circ\), \(\angle CAH = 45^\circ \Rightarrow \angle ACH = 45^\circ\), т. е. \(\Delta АНС\) - равнобедренный \(\Rightarrow АН = HC = (AD + BC) : 2\). Следовательно, высота трапеции равна полусумме оснований.