№39577
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Дана трапеция, которая является вписанной в окружность и описанной около окружности. Найдите: а) углы трапеции, если сумма трех из них равна \(300^\circ\); б) стороны трапеции, если ее периметр равен 16 см.
Ответ
a) \(60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ\); б) 4 см, 4 см, 6 см, 2 см.
Решение № 39561:
Поскольку около трапеции можно описать окружность, то трапеция является равнобокой (\(AB = CD\)) и \(\angle A + \angle C = \angle B + \\angle D= 180^\circ\). a) \(\angle A + \angle B + \angle C = 300^\circ\) по условию; \(\angle A + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 300^\circ - 180^\circ = 120^\circ\). По свойству углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, \(\angle А + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle A = 60^\circ\). T. к. \(ABCD\) - равнобокая, то \(\angle A = \angle D = 60^\circ\), \(\angle B = \angle C = 120^\circ\). Ответ: \(60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ\). б) Поскольку трапеция является описанной около окружности, то \(BC + AD = AB + CD =2AB\). \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\); \(16 = 4 \cdot AB \Rightarrow AB = 4\) см; \(CD = AB = 4\) см. \(\Delta АВK = \Delta DCH\) (по гипотенузе и катету). \(\angle ABK = \angle DCH = 30^\circ \Rightarrow AK = HD = 2\) см (как катет, лежащий против угла в \(30^\circ\)). \(KBCH\) - прямоугольник \(\Rightarrow ВС = KН\). T. к. \(BC + AD = 8\) см, то \(BC + KH + 4 = 8\) (см) \(\Rightarrow BC = 2\) см \(\Rightarrow AD = 6\) см. Ответ: 4 см, 4 см, 6 см, 2 см.