№39572
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Найдите углы треугольника, если две его средние линии перпендикулярны и равны.
Ответ
\(90^\circ; 45^\circ; 45^\circ\).
Решение № 39556:
По свойству средней линии треугольника: \(DE \parallel AC\), \(DE = \fraq{1}{2}AC\) и \(EF \parallel AB\), \(EF = \fraq{1}{2}AB\). T.к. \(DE \perp EF\), то \(AB \perp AC\). Т. к. \(EF = DE\), то \(\fraq{1}{2}AB = \fraq{1}{2}AC \Rightarrow AB = AC \Rightarrow \Delta ВАС\) - прямоугольный (\(\angle A = 90^\circ\)) и равнобедренный (\(АВ = АС\)). Поскольку \(\Delta АВС\) равнобедренный, то \(\angle ABC = \angle BCA\). По теореме о сумме углов треугольника \(\angle ABC = \angle BCA = 45^\circ\).