№39569

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Если в выпуклом четырехугольнике не все углы равны, то хотя бы один из них острый. Докажите.

Ответ

NaN

Решение № 39553:

Доказательство: а) По теореме о сумме углов выпуклого четырехугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D= 360^\circ\) \(\angle A= \angle D= \angle C\), то \(\angle B = 360 - 3 \cdot \angle A\) Предположим, что \(\angle А > 90^\circ\), то: 1) в случае если \(\angle A = 90^\circ\), то \(\angle В = 90^\circ\), что противоречит условию \(\angle A \neq \angle B\); 2) в случае если \(\angle A > 90^\circ\), то \(3 \angle A < 270^\circ \rightarrow \angle B < 90^\circ\). б) \(\angle A = \angle D\) - не острые, т. е. \(\angle A = \angle D \geq 90^\circ\) 1) Если \(\angle A = \angle D = 90^\circ\) то \(\angle B + \angle C = 180^\circ\). Поскольку\(\angle С \neq \angle A\) и \(\angle B \neq \angle A\), то \(\angle В \neq 90^\circ\), \(\angle С \neq 90^\circ \rightarrow\) один из углов \(\angle В\) и \(\angle С\) острый ,а второй - тупой ; 2) если \(\angle A = \angle D > 90^\circ\), то \(\angle A + \angle D > 180^\circ \rightarrow \angle C + \angle B < 180^\circ\), т. е. одновременно они не могут быть тупыми \(\rightarrow\) или \(\angle В < 90^\circ\) или \(\angle < 90^\circ\)