№39565

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Постройте треугольник по трем медианам.

Ответ

NaN

Решение № 39549:

Пусть \(m_{a}\), \(m_{b}\), \(m_{c}\). данные медианы треугольника. Анализ: Предположим, что \(\Delta АВС\) построен. Треугольник \(\Delta AOF\) можно построить по трем сторонам \(AO=\fraq{2}{3}m_{a}\), \(OF=\fraq{2}{3}m_{b}\) и \(AF=\fraq{2}{3}m_{c}\) Точку \(С\) получим, отложив \(ОА = ОС\), а т. \(В\) - отложив \(OF = OB\). Построение: 1) разделим отрезки \(m_{a}\), \(m_{b}\), и \(m_{c}\) в отношении \(2 : 1\): 2) построим \(\Delta АОF\) по трем сторонам: \(OF = \fraq{2}{3}m_{b}\), \(AF = \fraq{2}{3}m_{c}\), \(AO = \fraq{2}{3}m_{a}\) 3) достроим \(\Delta АОF\) до параллелограмма \(AOCF \rightarrow т. C\); 4) на луче \(FO\) от. т. \(О\) отложим отрезок \(OB = OF \rightarrow\) т, \(B\); 5) Соединим точки \(А\), \(В\), \(С\). Доказательство: \(\Delta ABC\) - искомый, т. К. 1) \(ao = \fraq{2}{3}m_{a}\), 2) \(CO = \fraq{2}{3}m_{c}\), 3) \(OB = \fraq{2}{3}m_{b}\) по построению; 2) по свойству параллелограмма \(АК = КС\) и \(OK = КF \rightarrow ВК\) - является медианой \(\Delta АВС\) и т. \(О\) делится в отношении \(2 : 1\) считая от вершины \(\rightarrow 3) \(O\) - точка, пересечения медиан треугольника \(\Delta АВС \rightarrow ОС\) и \(OA\) - отрезки медиан \(CL\) и \(АМ \rightarrow \Delta АВС\) - искомый. Исследование: Задача имеет единственное решение при условии, что для чисел \(m_{a}\), \(m_{b}\), и \(m_{c}\). выполнено неравенство треугольника.