№39564

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Расстояние от центра окружности, описанной около равнобедренного треугольника, до его основания равно \(3 см\), а радиус этой окружности равен \(6 см\). Найдите длины отрезков, на которые точка пересечения медиан делит медиану, проведенную к основанию.

Ответ

Ответ: \(6 см\) и \(3 см\) или \(2 см\) и \(1 см\).

Решение № 39548:

Возможны два случая: 1) \(\angle В\) - острый (см. рис. ниже); 2) \(\angle B\) - тупой (см. рис. ниже). Центр описанной окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Поскольку медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является серединным перпендикуляром к стороне, то \(O \in ВК \rightarrow ОК = 3 см\), \(ОВ = 6 см\( (т. к.\(OB = R\)). Случай 1: \(ВК = BO + OK = 9 см\). Т. к. \(F\) - точка пересечения медиан, то она делит \(ВК\) в отношении \(2 : 1\) на отрезки \(BF\) и \(FK\), т. е. \(BF = 6 см\), \(FK = 3 см\) (т. \(О\) совпадает с точкой пересечения медиан). Случай 2: \(ВК = ВО - ОK = 3 см\). Т. к. \(F\) - точка пересечения медиан, то она делит \(ВК\) в отношении \(2 : 1\) на отрезки \(BF\) и \(FK\), т. e. \(BF = 2 cм\), \(FK = 1 см\). Ответ: \(6 см\) и \(3 см\) или \(2 см\) и \(1 см\).