№39563

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Дан параллелограмм \(ABCD\). Докажите, что точки пересечения медиан треугольников \(АВС\) и \(CDA\) лежат на диагонали \(BD\) и делят ее на три равные части.

Ответ

NaN

Решение № 39547:

По свойству диагоналей параллелограмма \(BO = OD\) и \(AO = OC\). Т. e. в \(\Delta ABC BO\) - медиана, а в \(\Delta ADC DO\) - медиана = т. к. \(E\) - точка пересечения медиан \(\Delta АВС\), то \(E \in BO\), а т. к. \(F\) - точка пересечения медиан \(\Delta ADC \in DO. \rightarrow F, E \in BD\). Поскольку точка пересечения медиан делит медиану в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, то \(ВЕ : ЕО = 2 : 1\); \(DF : FO = 2 : 1\), a T. K. \(BO = OD\), то \(FD = BE = 2x\), a \(EO = OF = x \rightarrow EF = EO + OF = 2x \rightarrow BE = EF = FD\).