№39559

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В треугольнике точка пересечения медиан совпадает с ортоцентром. Докажите, что данный треугольник равносторонний.

Ответ

NaN

Решение № 39543:

\(О\) является точкой пересечения медиан и высот треугольника \(\Rightarrow LA \perp KМ\) и \(KА = AM\), \(KB \perp LM\) и \(LB = BM\) и \(MC \perp KL\) и \(KC = CL\). \(\Delta KАО = \Delta МАО\) по двум сторонам и углу между ними (\(KA = AM\), \(AO\) - общая, \(\angle KAO = \angle MAO = 90^\circ\)) \(\Rightarrow KO = OM\). \(\Delta MOB = \Delta LOB\) по двум сторонам и углу между ними (\(LB = BM\), \(OB\) - общая, \(\angle OBM = \angle LBO = 90^\circ\)) \(\Rightarrow LO = OM\). \(\Delta KOC = \Delta LOC\) по двум сторонам и углу между ними (\(LC = CK\), \(CO\) - общая, \(\angle LCO = \angle KCO = 90^\circ\)) \(\Rightarrow KO = OL \Rightarrow KO = OM = LO\). Поскольку \(LA\), \(MC\) и \(KB\) - медианы, то \(\fraq{MO}{OC} = \fraq{KO}{OB} = \fraq{LO}{OA}\), а т. к. \(МО = KO = OL\), то \(OC = OB = OA\). \(\Delta СОK = \Delta АОК = \Delta АОМ = \Delta BOM = \Delta BOL = \Delta COL\) по гипотенузе и катету (\(KО = ОМ = OL\) и \(CO = OB = OA\)) \Rightarrow CK = KA = CL = AM = MB = LB \Rightarrow KL = LM = KM\). Следовательно, \(\Delta KLM\) - равносторонний.