№39550

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Один из углов треугольника равен \(60^\circ\). Под каким углом пересекаются биссектрисы двух других его углов?

Ответ

NaN

Решение № 39534:

Пусть \(a\) - данная боковая сторона трапеции, радиус вписанной окружности. Анализ: Пусть данная трапеция \(ABCD\) построена. \(\Delta АВН\) можно построить по гипотенузе и катету \(AB = a\), \(BH = 2r\), т. к. высота трапеции в 2 раза больше радиуса вписанной окружности. Остальные точки восстановим, используя то, что центр окружности находится на пересечении биссектрис углов \(А\) и \(В\) трапеции, и то, что \(\Delta ВОД = \Delta COD\). Построение: 1) построим \(\Delta АВН\) по гипотенузе и катету; 2) проведем прямую \(а \parallel АН\) 3) определим т. \(Q\) - центр вписанной окружности как пересечение биссектрис углов \(В\) и \(А\) 4) на прямой \(a\) сделаем засечку радиусом \(OB \rightarrow\) т. \(C\); 5) на прямой \(АН\) сделаем засечку радиусом \(а \rightarrow\) т. \(D\). Доказательство: T. к. \(AD \parallel BO\) (по построению), то \(ABCD\) - трапеция. По построению \(BH = 2r\), \(ВА = а\), \(CD = а\) - трапеция равнобокая и радиус вписанной окружности \(r\) Исследование: задача имеет едииствен ное решение при условии, что \(2r < а\).