№39546

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

На гипотенузе \(AB\)прямоугольного треугольника \(АВС\) вне треугольника построен квадрат \(ABDE\), диагонали которого пересекаются в точке \(K\) . Найдите угол \(АСК\).

Ответ

Ответ: \(45^\circ\)

Решение № 39530:

В четырехугольнике \(ACBK : \angle C + \angle K = 180^\circ = \angle A + \angle B = 180^\circ\) (из теоремы о сумме углов четырехугольника) около четырехугольинка \(АСВ\) можно описать окружность. Данная окружность описана также около \(\Delta ACD\). T. к. \(\Delta ACD\) прямоугольный, то центр окружности находится в центре гипотенузы. Опишем окружность около четырехугольника \(ACBK\) \(\angle KAB = \angle KCB\), т. к. эти углы опираются на одну и ту же дугу. \(\angle ACK = \angle ABK\), т. к. эти углы опираются на одну и ту же дугу. Поскольку хорды стягивающие данные дуги, равны, то \(\angle КАВ = \angle KCB = \angle ACK = \angle ABK \rightarrow \angle ACK = \angle KCB\), но \(\angle ACK + \angle KCB = \angle ACB = 90^\circ \rightarrow \angle ACK = 45^\circ\). Ответ: \(45^\circ\).