№39545

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Из вершины тупого угла ромба \(ABCD\)проведены высоты \(ВМ\) и \(BN\), причем отрезок \(BN\) вдвое меньше диагонали \(BD\) . Найдите углы ромба

Ответ

Ответ: \(150^\circ\); \(30^\circ\);\(150^\circ\); \(30^\circ\)

Решение № 39529:

Рассмотрим четырехугольник \(BMDN: \angle BMD = \angle BND = 90^\circ\), T. e. \(\angle BMD + \angle BND = 180^\circ \rightarrow \angle MBN + \angle MDN = 180^\circ\) (из теоремы о сумме углов четырехугольника) \(\rightarrow\) около четырехугольника \(BMDN\) можно описать окружность, ее центр находится в центре гипотенузы \(AMBD\) (т.к. \(\Delta BMD\) - прямоугольный). \(OM = ON = OB = OD = BD: 2\), T. к. \(BO, OD, ON, OM\) - радиусы, а \(BD\) - диаметр \(\rightarrow \Delta MON\) равнобедренный = т. к. \(OD\) - биссектриса \(\angle NOM\), то \(OK\) высота и медиана \(\Delta NOM \rightarrow MK = KN = MN: 2\) и \(\Delta OKM\) - прямоугольный. T.к. \(MN = \fraq{1}{2} BD\), то \(MK = \fraq{1}{4} BD\). В \(\Delta OKM : \angle OKM = 90^\circ\) и катет \(МК\) в 2 раза меньше гипотенузы - угол, лежащий против кадета \(МК\), равен \(30^\circ \rightarrow \angle KOM = 30^\circ\) B \(\Delta OMD: OM = OD\) и \(\angle MOD = 30^\circ \rightarrow \angle ODM = \angle OMD = (180^\circ - 30^\circ) : 2 = 75^\circ\) (из теоремы о сумме углов \Delta OMD). По свойству диагоналей ромба \(DB\) - биссектриса \(\angle D = \angle D = 2 \cdot \angle ODM = 150^\circ\). По свойству углов ромба \(\angle 4 + \angle D = 180^\circ \rightarrow \angle A = 30^\circ\) и \(\angle A = \angle C\); \(\angle B = \angle D\). Ответ: \(150^\circ\); \(30^\circ\);\(150^\circ\); \(30^\circ\)