№39544

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Если сторону четырехугольника, соединяющую две его вершины, видно из двух других вершин под равными углами, то около этого четырехугольника можно описать окружность. Докажите.

Ответ

NaN

Решение № 39528:

Докажем, что \(\angle A + \angle C = \angle B + \angle D \leftrightarrow \((\angle A + \angle C) - (\angle B + \angle D) = 0\) \(\angle BTA = \angle CTD\) и \(\angle BTC = \angle ATD\) как вертикальные. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что \(\angle 8= \angle 5 (в \Delta ВАТ и \Delta CDT)\) и \(\angle 2 + \angle 3 = \angle 7 + \angle 6 (в \Delta ВТС и \Delta ATD) \rightarrow \angle 2 - \angle 7 = \angle 3 - \angle 6\). \((\angle A + \angle C) - (\angle B + \angle D) = (\angle 8 + \angle 7 + \angle 3 + \angle 4) - (\angle 1 + \angle 2 + \angle 5 + \angle 6) = \angle 8 + \angle 7 + \angle 3 + \angle 4 - \angle 1 - \angle 2 - \angle 5 - \angle 6 = (\angle 8 - \angle 5) + (\angle 4 - \angle 1)+ (\angle 3 - \angle 6) - (\angle 2 - \angle 7) = \angle A + \angle C = \angle B + \angle D\). По теореме о сумме углов четырехугольника \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \rightarrow \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ\). B \(ABCD\) сумма противолежащих углов равна \(180^\circ\) около \(ABCD\) можно описать окружность.