№39543

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

(опорная). Если трапеция /(ABCD (АD \parallel ВС)\) описана около окружности с центром в точке \(O\), то: а) точка \(O\) — точка пересечения биссектрис углов трапеции; б) треугольники \(АОВ\) и \(СОD\) прямоугольные.

Ответ

NaN

Решение № 39527:

а) т. \(О\) - точка пересечения биссектрис углов трапеции, б) \(\Delta AOR\) и \(\Delta COD\) - прямоугольные. Доказательство: а) Проведем радиусы в точки касания окружности со сторонами трапеции. По свойству радиуса, проведенного в точку касания: \(OH \perp CD\), \(OK \perp BC\), \(OL \perp AB\),\(OM \perp AD\). Соединим центр окружности с вершинами трапеции. Рассмотрим \(\Delta ALO\) и \(\Delta AMO: \angle L = \angle M = 90^\circ\); \(OL = OM\) - как радиусы; \(АО - общая \longrightarrow \Delta ALO = \Delta AM)\) по гипотенузе и катету \(\longrightarrow \angle LAO = \angle ОАМ \longrightarrow AO\) - биссектриса \(\angle A\). Аналогично доказывается, что \(DО\) биссектриса \(\angle D, CO\) - биссектриса \(\angle C\). \(BO\) биссектриса \(\angle B\), т.е. \(О\) - пересечение биссектрис угловлов трапеции. б) Т. к. сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\), то \(\angle C + \angle D = 180^\circ\) и \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Поскольку \(BO, CO, DO, AO\) - биссектрисы углов \(\angle B, \angle C, \angle D\) и \(\angle A\) соответственно, то \(\angle LAO = \angle A : 2; \angle LBO = \angle B : 2; \angle OCH = \angle C : 2; \angle ODH = \angle D : 2\); \(\angle LAO + \angle LBO = \fraq{1}{2} \angle A + \fraq{1}{2} \angle B = \fraq{1}{2} (\angle A + \angle B) = 90^\circ\) По теореме о сумме углов треутольника \(в \Delta AОВ\): \(\angle AOB + \angle OBA + \angle LAO = 180^\circ \longrightarrow \angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \longrightarrow \Delta AОВ\) прямоугольный. Аналогично доказывается, что \(\Delta COD\) прямоугольный.