№39536
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
(опорная). а) Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей, а радиус окружности равен половине высоты ромба. Докажите. б) Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты. Докажите.
Ответ
NaN
Решение № 39520:
a) Проведем радиусы в точки касания окружности со сторонами ромба. По свойству радиуса, проведенного в точку касания: \(OL \perp AD\), \(OF \perp DC\), \(OK \perp BC\), \(ОЕ \perp AB\). Поскольку \(BC \parallel AD\), то \(ОK\) и \(OL\) лежат на одной прямой \(\Rightarrow LK\) - диаметр и \(LK\) - высота ромба \(\Rightarrow r = LK : 2 = h : 2\). Рассмотрим \(\Delta ОEВ\) и \(\Delta ОKB\): \(OE = OK\) - как радиусы, \(OB\) - общая \(\Rightarrow \Delta BEO = \Delta BKO (по гипотенузе и катету) \(\Rightarrow \angle EBO = \angle KBO \Rightarrow\) т. \(O \in\) биссектрисе угла \(B\), т. е. \(О\) лежит на диагонали \(BD\). Аналогично доказывается, что т. \(O \in\) диагонали \(АС\). Следовательно, т. \(О\) является точкой пересечения диагоналей ромба. б) Проведем радиусы в точки касания окружности с основаниями трапеции. По свойству радиуса, проведенного в точку касания: \(ОK \perp BC\), \(OH \perp AD\). Поскольку \(ВС \parallel AD\), то \(KО\) и \(ОН\) лежат на одной прямой, т. е. \(KН\) является диаметром окружности и высотой трапеции \(\Rightarrow\) радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции.