№39535
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Если биссектрисы углов четырехугольника, пересекаясь, образуют четырехугольник, то около образованного четырехугольника можно описать окружность. Докажите.
Ответ
NaN
Решение № 39519:
По теореме о сумме углов треугольника в \(\Delta CKD\): \(\angle CKD = 180^\circ - (\fraq{\angle C}{2} + \fraq{\angle D}{2})\). По теореме о сумме углов треугольника в \(\Delta AMB\): \(\angle AMB = 180^\circ - (\fraq{\angle A}{2} + \fraq{\angle B}{2})\). \(\angle AMB = \angle NML\) и \(\angle DKC = \angle NKL\) как вертикальные, т. e. \(\angle NML = 180^\circ - (\fraq{\angle A}{2} + \fraq{\angle B}{2})\), a \(\angle LKN = 180^\circ - (\fraq{\angle C}{2} + \fraq{\angle D}{2})\). Рассмотрим четырехугольник \(NMLK\): \(\angle NML + \angle LKN = 180^\circ - (\fraq{\angle A}{2} + \fraq{мangle B}{2}) + 180^\circ - (\fraq{\angle C}{2} + \fraq{\angle D}{2})\) = 360^\circ - \fraq{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)\). Ho \(\angle A + \angle C + \angle B + \angle D = 360^\circ\) (т. к. сумма углов четырехугольника \(ABCD\) равна \(360^\circ\)) \(\Rightarrow \angle LMN + \angle LKN = 360^\circ - \fraq{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ\). По теореме сумме углов четырехугольника (в четырехугольнике \(NMLK\)): \(\angle NML + \angle LKN + \angle MLK + \angle MNK = 360^\circ \Rightarrow \angle MLK + \angle MNK = 180^\circ\). В четырехугольнике \(MLKN\) суммы противолежащих углов равны \(\Rightarrow\) около \(MNKL\) можно описать окружность.