№39534

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В треугольнике \(АВС\) высоты \(АА_{1}\) и \(СС_{1}\) пересекаются в точке \(D\). Докажите, что точки \(А_{1}\), \(В\), \(С_{1}\), \(D\) лежат на одной окружности.

Ответ

NaN

Решение № 39518:

\(AA_{1}\), \(CC_{1}\) - высоты \(\Rightarrow \angle BC_{1}D = \angle BA_{1}D = 90^\circ \Rightarrow \angle BC_{1}D + \angle BA_{1}D = 180^\circ\). Пo теореме о сумме углов четырехугольника \(\angle A + \angle BA_{1}D + \angle A_{1}DC_{1} + \angle DC_{1}B = 360^\circ \Rightarrow \angle A + \angle C_{1}DA_{1} = 180^\circ\). В четырехугольнике \(A_{1}BC_{1}D\) сумма противолежащих углов равна \(180^\circ \Rightarrow\) четырехугольник \(A_{1}BC_{1}D\) является вписанным в окружность, т. е. существует окружность такая, что т. \(B\), \(A_{1}\), \(C_{1}\) и \(D\) лежат на ней.