№39533

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанная и описанная окружности,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите углы трапеции, если центр окружности, описанной около нее, лежит на большем основании, а угол между диагоналями равен \(70^\circ\).

Ответ

\(55^\circ, 125^\circ, 55^\circ, 125^\circ\).

Решение № 39517:

Т. к. трапеция вписана в окружность, то она равнобокая \(\Rightarrow \angle L = \angle M\) и \(\angle K = \angle N\). \(\angle KNL\) и \(\angle KML\) опираются на одну дугу \(\Rightarrow \angle KNL = \angle KML\). \(\angle KNL = \angle NLM\) и \(\angle LMK = \angle LNK\) как внутренние накрест лежащие при \(LM \parallel KN\) и секущих \(LN\) и \(KМ\) соответственно \(\Rightarrow \angle KML = \angle LNK = \angle NLM = \angle NKM\). \(\angle NEM\) - внешний угол \(\Delta LEM\). По свойству внешнего угла треугольника: \(\angle NEM = \angle ELM + \angle LME \Rightarrow \angle ELM = 70^\circ : 2 = 35^\circ\). \(\angle KLN\) опирается на диаметр \(\Rightarrow \angle KLN = 90^\circ\). По аксиоме измерения углов: \(\angle KLM = \angle KLN + \angle NLM = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ\). Поскольку сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\), то \(\angle KLM + \angle LKN = 180^\circ \Rightarrow \angle LKN = 55^\circ\). Поскольку трапеция равнобедренная, то \(\angle LKN = \angle MNK = 55^\circ\), \(\angle KLM = \angle NML = 125^\circ\).