№39505

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанный угол,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, если его медиана, проведенная к гипотенузе, равна 9 см и образует с гипотенузой угол \(60^\circ\).

Ответ

9 см.

Решение № 39489:

Поскольку медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузе, то \(AD = DC = BD\). \(\Rightarrow \Delta ADC\) - равнобедренный \(\Rightarrow \angle DAC = \angle DCA\). По теореме о сумме углов треугольника в \(\Delta АDС\): \(\angle DAC + \angle DCA + \angle ADC = 180^\circ \Rightarrow \angle DAC = \angle DCA = (180^\circ - 60^\circ) : 2 = 60^\circ \Rightarrow \Delta ADC\) - равносторонний \(\Rightarrow AD = AC\), т. е. \(AC = 9\) см. Поскольку в \(\Delta АВС \angle DCA = 60^\circ\), a \(\angle BAC = 90^\circ \Rightarrow \angle ABC = 30^\circ\). Против меньшего угла лежит меньшая сторона \(\Rightarrow АС\) - меньший катет.