№39502
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Вписанный угол,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
(опорная). а) Дуги окружности, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. Докажите. б) Если две дуги окружности равны, то равны и хорды, стягивающие их. Докажите. Пользуясь рисунком, сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Ответ
а) Утверждение доказано. б) Утверждение доказано.
Решение № 39486:
a) \(\angle B\) - острый, т. е. \(\angle B < 90^\circ\). \(\angle B\) опирается на дугу \(\cup ALC \Rightarrow\) по теореме о вписанном угле \(\angle ABC = \fraq{1}{2} \cup ALC \Rightarrow \cup ALC = 2 \angle ABC \Rightarrow \cup ALC < 180^\circ\). T. e. \(\cup ALC\) меньше полуокружности. Проведем через т. \(С\) диаметр \(\Rightarrow \cup DAC = 180^\circ \Rightarrow\) т. \(А\) и т. \(В\) лежат в разных полуплоскостях от прямой \(ОС \Rightarrow\) т. \(В\) и \(О\) лежат в одной полуплоскости от прямой \(АС\). Аналогично доказывается, что точки \(О\) и \(С\) лежат в одной полуплоскости от прямой \(АВ\) и точки \(А\) и \(О\) лежат в одной полуплоскости от прямой \(ВС \Rightarrow\) т. \(О\) лежит внутри треугольника \(\Delta АВС\). б) \(\angle ABC > 90^\circ\), a т. к. \(\angle B\) - опирается на \(\cup ALC \Rightarrow\) по теореме о вписанном угле \(\angle ABC = \fraq{1}{2} \cup ALC \Rightarrow \cup ALC = 2\angle ABC\), то \(\cup ALC > 180^\circ\). Проведем через точку \(С\) диаметр \(CD \Rightarrow\) т. \(А\) и \(В\) лежат в одной полуплоскости относительно прямой \(DC \Rightarrow\) точки \(В\) и \(О\) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой \(АС \Rightarrow\) т. \(О\) лежит вне треугольника.