Задача №39475
№39475
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, точка. Прямая. Луч, теорема Фалеса,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
а) В треугольнике \(АВС\) каждая из боковых сторон \(АВ\) и \(ВС\) разделена на \(m\) равных частей (см. рис. ниже). Докажите, что отрезки, соединяющие соответствующие точки деления, параллельны между собой и параллельны стороне \(АС\).
б) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для трапеции.
в) Сформулируйте утверждение, обратное теореме Фалеса, и опровергните его с помощью контрпримера.
Ответ
NaN
Решение № 39459:
а) Через точки \(А_{1}, А_{2},, А_{3}, ..., А_{m-1}\) проведем прямые, параллельные стороне \(АС\). По теореме Фалеса параллольные прямые, проходящие через точки \(А_{1}, А_{2}, А_{3}, ... , А_{m-1}\) отсекут на стороне \(ВС m\) равных отрезков прямые пересекут \(ВС\) в точках \(B_{1}, B_{2}, ... , B_{m-1} \longrightarrow A_{1}B_{1} \parallel A_{2}B_{2} \parallel ... \parallel A_{m-1}B_{m-1} \parallel AC\) б) Утверждение: если в трапеции \(ABCD\) боковые стороны разделены на \(m\) равных отрезков, то отрезки, соединяющие соответствующие точки деления, параллельны между собой и основаниям трапеции. Через точки \(А_{1}, А_{2}, ... А_{m-1}\) проведем прямые, параллельные основаниям трапеции \(ВC\) и \(AD\). По теореме Фалеса параллельные прямые, проходящие через точки \(А_{1}, А_{2}, ... , А_{m-1}\), отсекут на стороне \(CD\) равные отрезки (\(m\) штук) \(\longrightarrow-\) пересекут \(CD\) в точках \(B_{1}, B_{2}, …B_{m-1} \longrightarrow A_{1}B_{1} \parallel A_{2}B_{2} \parallel ... A_{m-1}B_{m-1} \parallel AD \parallel BC\) в) Утверждение (обратное теореме Фалеса): если прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки и на другой стороне угла равные отрезки, то такие прямые параллельны. Данное утверждение неверно, т. к. прямые \(l_{1}\) и \(l_{2}\) (см. рис.) пересекают стороны угла и на каждой из них отсекают равные отрезки, но \(l_{1}/l_{2}\)